Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+ax+4

x

(x≠0)．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上恒大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系式f（-x）=-f（x），列出方程化簡(jiǎn)后求出a的值；
（2）由函數(shù)的解析式求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的解析式和區(qū)間[3，+∞），判斷出f′（x）＞0，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，只要此最小值大于0即可．

解答：解：（1）由題意知，f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
若f（x）為奇函數(shù)，則f(-x)=

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-f(x)，
即

(-x)2+a(-x)+4

-x

=-

x2+ax+4

x

，解得a=0．
（2）由f（x）=

x2+ax+4

x

得，f′(x)=1-

4

x2

，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得a＞-

13

3

，
故a的取值范圍為a＞-

13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)函數(shù)的綜合題，利用函數(shù)的奇偶性的關(guān)系式進(jìn)行求值，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，解決恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想和邏輯思維能力．