已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求證：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．
考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式
專(zhuān)題：證明題,不等式
分析：由柯西不等式，可得：[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2=（x+2y+3z-6）2，即可得出結(jié)論．
解答： 證明：因?yàn)椋篬（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2
=（x+2y+3z-6）2=142，…（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)
x-1
1
=
y+2
2
=
z-3
3
，即x=z=0，y=-4時(shí)，取等號(hào)，
所以：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．                    …（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一般形式的柯西不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=
2
x
+f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知△ASD中，SD=3，CD=
5
，cos∠SDC=-
1
5
5
，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M為SB上點(diǎn)，且SM=2MB，將△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD

（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱錐S-CDM的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M的方程為（x-4）2+y2=1．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+
π
6
）=
1
2
．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程和圓M的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求圓M上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，
2
2
）和（
2
2
，
3
2
），其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，取點(diǎn)A（0，
2
），E（x0，0），連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．證明：直線(xiàn)QG與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方形ACDE與等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F(xiàn)、G分別是線(xiàn)段AE、BC的中點(diǎn)．求AD與GF所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求函數(shù)y=
2x2-2x+1
x2
（x＞2）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若x∈[-π，π]，為使方程sinx-
3
cosx=q．
（1）有解；
（2）有兩個(gè)不同的解；
（3）僅有一解；
請(qǐng)分別求q的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1（n∈N*，n≥2）．
（1）當(dāng)n=2，3時(shí)，分別求an2-an-1an+1的值，判斷an2-an-1an+1是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)n，使得5an+1an+1為完全平方數(shù)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案