Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的

1

4

，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  2 3

  3

• C．

  5

• D．

  4 15

  15

Answer 1

分析：因?yàn)殡p曲線即關(guān)于兩條坐標(biāo)軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以任意一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，所以不妨利用點(diǎn)到直線的距離公式求（c，0）到y(tǒng)=

b

a

x的距離，再令該距離等于焦距的

1

4

，就可得到含b，c的齊次式，再把b用a，c表示，利用e=

c

a

即可求出離心率．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0）（-c，0），漸近線方程為y=±

b

a

x
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，任意一個(gè)焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離都相等，
求（c，0）到y(tǒng)=

b

a

x的距離，d=

|bc|

a2+b2

=

bc

c2

=b，
又∵焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的

1

4

，
∴b=

1

4

×2c，兩邊平方，得4b²=c²，即4（c²-a²）=c²，
∴3c²=4a²，

c2

a2

=

4

3

，即e²=

4

3

，e=

2 3

3

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，以及雙曲線離心率的求法，求離心率關(guān)鍵是找到a，c的齊次式．