Question

用函數(shù)單調(diào)性定義證明，函數(shù)f（x）=x³+

1

x

在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：利用原始的定義進(jìn)行證明，在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數(shù)f（x）=x³+

1

x

進(jìn)行證明．

解答：證明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=x₂³-x₁³+

1

x1

-

1

x2

=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+

(x2-x1)

x1x2

∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
當(dāng)x₁x₂＜0時(shí)，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
當(dāng)x₁x₂≥0時(shí)，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+

(x2-x1)

x1x2

＞0．
即f（x₂）＞f（x₁）
所以，函數(shù)f（x）=x³+

1

x

在[1，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用原始定義進(jìn)行證明，是一道基礎(chǔ)題．