【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)
在圓
上運(yùn)動(dòng),且總有
,求
的取值范圍;
(3)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)
交橢圓于
、
兩點(diǎn),試問(wèn):在此坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)點(diǎn)
,使得無(wú)論
如何轉(zhuǎn)動(dòng),以
為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)
?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明由.
【答案】(1).(2)
(3)存在,
【解析】
(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,可得之間的關(guān)系,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中,這樣可以求出
的值,進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè),求出圓
的圓心坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式寫(xiě)出
的表達(dá)式,根據(jù)橢圓的范圍,求出
的取值范圍,根據(jù)圓的半徑和
的大小關(guān)系,進(jìn)行分類(lèi)討論,最后求出
的取值范圍;
(3)由對(duì)稱(chēng)性可知,點(diǎn)一定位于
軸上,設(shè)
,
,
,
根據(jù)題意可以判斷,根據(jù)直線(xiàn)
是否存在斜率進(jìn)行分類(lèi)討論.當(dāng)存在斜率時(shí),直線(xiàn)
方程與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合
,可以判斷存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題意,并求出定點(diǎn);當(dāng)不存在斜率時(shí),解方程組,最后判斷是否滿(mǎn)足剛得到定點(diǎn)條件.
(1)因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,所以有,橢圓過(guò)點(diǎn)
,所以有:
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
;
(2)設(shè),
,
則,
,
∴,∴
,
①時(shí),
,
②時(shí),
,
綜上,.
(3)由對(duì)稱(chēng)性可知,點(diǎn)一定位于
軸上,
設(shè),
,
,
則(*),
①的斜率存在時(shí),設(shè)
,代入橢圓方程,
得,
,
則(*)式為,
即,
,
整理,得,
∴,得
.
②的斜率不存在時(shí),
,代入橢圓方程,得
,
∴此時(shí)以為直徑的圓的方程為
,也經(jīng)過(guò)點(diǎn)
.
綜上,存在滿(mǎn)足題設(shè)條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線(xiàn)l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣1,0).
(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求△ABM的外接圓方程;
(2)記△AMF的面積為S1,△BMF的面積為S2,當(dāng)S1=4S2時(shí),求直線(xiàn)l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn),
作如下定義:
,那么稱(chēng)點(diǎn)
是點(diǎn)
的“上位點(diǎn)”,同時(shí)點(diǎn)
是點(diǎn)
的“下位點(diǎn)”.
(1)試寫(xiě)出點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo);
(2)設(shè)、
、
、
均為正數(shù),且點(diǎn)
是點(diǎn)
的上位點(diǎn),請(qǐng)判斷點(diǎn)
是否既是點(diǎn)
的“下位點(diǎn)”又是點(diǎn)
的“上位點(diǎn)”,如果是請(qǐng)證明,如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)正整數(shù)滿(mǎn)足以下條件:對(duì)任意實(shí)數(shù)
,總存在
,使得點(diǎn)
既是點(diǎn)
的“下位點(diǎn)”,又是點(diǎn)
的“上位點(diǎn)”,求正整數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓與圓
:
有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)
、
、
分別是橢圓
上的動(dòng)點(diǎn)、左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn),三角形
面積的最大值是
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點(diǎn)在橢圓第一象限部分上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)
作圓
的切線(xiàn)
,過(guò)點(diǎn)
作
的垂線(xiàn)
,求證:
,
交點(diǎn)
的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某公司生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)
和樣本方差
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布
,其中
近似為樣本平均數(shù)
近似為樣本方差
.
(i)利用該正態(tài)分布,求;
(ii)已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元,每件合格品(質(zhì)量指標(biāo)值
)的定價(jià)為
元;若為次品(質(zhì)量指標(biāo)值
),除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶(hù)
元。若該公司賣(mài)出
件這種產(chǎn)品,記
表示這件產(chǎn)品的利潤(rùn),求
.
附:.若
,則
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(Ⅰ)若,解不等式
;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)
的最小值為
,求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差
,前
項(xiàng)和為
,且滿(mǎn)足
,
(1)試尋找一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)非負(fù)常數(shù)
,使得等式
對(duì)于任意的正整數(shù)
恒成立,并說(shuō)明你的理由;
(2)對(duì)于(1)中的等差數(shù)列和非負(fù)常數(shù)
,試求
(
)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備
生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測(cè)量其直徑后,整理得到下表:
直徑 | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計(jì) |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差
,以頻率值作為概率的估計(jì)值,用樣本估計(jì)總體.
(1)將直徑小于等于或直徑大于
的零件認(rèn)為是次品,從設(shè)備
的生產(chǎn)流水線(xiàn)上隨意抽取3個(gè)零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)
的數(shù)學(xué)期望
;
(2)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(
表示相應(yīng)事件的概率):①
;②
;③
.評(píng)判規(guī)則為:若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等式,則設(shè)備等級(jí)為甲;僅滿(mǎn)足其中兩個(gè),則等級(jí)為乙;若僅滿(mǎn)足其中一個(gè),則等級(jí)為丙;若全部不滿(mǎn)足,則等級(jí)為丁,試判斷設(shè)備
的性能等級(jí)并說(shuō)明理由.
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