已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，斜率為k的直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)l與y軸交點(diǎn)為P，線段PF2的中點(diǎn)恰為B．若|k|≤
2
5
5
，求橢圓C的離心率的取值范圍．
分析：設(shè)橢圓離心率為e，設(shè)F2的坐標(biāo)為（c，0），設(shè)l的方程為y=kx+m，則可求得l與y軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求得B點(diǎn)坐標(biāo)，帶橢圓方程求得e和k的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)k的范圍得出關(guān)于e的不等式，求得e的范圍．
解答：解：設(shè)橢圓離心率為e，設(shè)F2的坐標(biāo)為（c，0），其中c2=a2-b2，
設(shè)l的方程為y=kx+m，則l與y軸的交點(diǎn)為（0，m），m=-kc，
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為（
c
2
，-
kc
2
），將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得
c2
a2
+
c2
b2
•k2=4，即e2+
k2
1
e2
-1
=4，
所以k2=（4-e2）•（
1
e2
-1）≤
4
5
，即5e4-29e2+20≤0，解之可得，
4
5
≤e2≤5，
又有橢圓的性質(zhì)，所以
2
5
5
≤e＜1，
因此橢圓C的離心率取值范圍為[
2
5
5
，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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