Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，若f（-1）=2．
（1）求f（0），f（3）的值；
（2）求證：f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）求不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0）與f（3）；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）將不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．．

解答： 解：（1））∵f（x）的定義域?yàn)镽，令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
令x=y=-1時(shí)，f（-2）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=2×2=4，
∴f（-3）=f（-1-2）=f（-1）+f（-2）=2+4=6；
∵f（0）=0，∴令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)，
∴f（3）=-f（-3）=-6
（2）設(shè)x₁＜x₂，則設(shè)x₂-x₁＞0，此時(shí)f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，則f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）的單調(diào)遞減；
（3）不等式不等式f（1-2x）+f（x）+6＞0等價(jià)為f（1-3x）+f（x）＞f（3），
即f（1-2x+x）=f（1-x）＞f（3），
∵函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減，
∴1-x＜3，
解得x≥-2，
即不等式的解集為（-2，+∞），

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．