Question

已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖是矩形且AA₁＝3，設D為AA₁的中點．

(1)作出該幾何體的直觀圖并求其體積；

(2)求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁；

(3)BC邊上是否存在點P，使AP//平面BDC₁？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由題意可知該幾何體為直三棱柱，直觀圖略． 　　∵幾何體的底面積　　3分 　　(2)證明：連結B1C交BC1于E點，則E為BC1、B1C的中點，連結DE． 　　∵AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90° 　　∴△ABD≌△DA1C1，∴BD＝DC1， 　　∴DE⊥BC1　　5分 　　同理DE⊥B1C 　　又∵B1C∩BC1＝E，∴DE⊥面BB1C1C， 　　又∵DE面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C　　7分 　　(3)解：取BC的中點P，連結AP，則AP∥平面BDC1 　　證明：連結PE，則PE平行且等于AD， 　　∴四邊形APED為平行四邊形，∴AP∥DE，又DE平面BDC1，AP平面BDC1， 　　∴AP∥平面BDC1　　12分