Question

已知三次函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a，b，c∈R)．

(1)若函數(shù)f(x)過點(－1，2)且在點(1，f(1))處的切線方程為y＋2＝0，求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)當a＝1時，若－2≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤3，試求f(2)的取值范圍；

(3)對，都有，試求實數(shù)a的最大值，并求a取得最大值時f(x)的表達式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵函數(shù)過點，∴，① 　　又，函數(shù)點處的切線方程為， 　　∴，∴，② 　　由①和②解得，，，故；　4分 　　(2)法一、 　　可得：　6分 　　　7分 　　． 　　．　9分 　　法二、又 　　(★) 　　作出(★)不等式表示的平面區(qū)域如圖： 　　目標函數(shù)：　7分 　　如圖示當直線過點時， 　　取最大值16． 　　當直線過點時， 　　取最小值1． 綜上所得：　9分 　　(3)∵， 　　則，可得．　10分 　　∵當時，，∴，，， 　　∴，　12分 　　∴，故的最大值為， 　　當時，，解得，， 　　∴取得最大值時．14分