Question

有甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)；
（1）若這5位同學(xué)排成一排，則甲不能站在第一位的排法有多少種？
（2）若這5位同學(xué)排成一排，則甲乙必須相鄰，丙丁必須不相鄰的排法有多少種？
（3）若這5位同學(xué)參加唱歌、跳舞、下棋、繪畫4項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少有一人參加，每名同學(xué)必須也只能參加一項(xiàng)比賽，其中甲同學(xué)不能參加跳舞比賽，共有多少種參賽方案？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，甲是特殊元素，優(yōu)先分析可得甲可以站其他4個位置，共有4種站法，剩余的4人站其他4個位置，由排列數(shù)公式可得其余人的站法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分3步來分析，先分析甲、乙，用捆綁法視為1個元素，再將其與戊排在一起，排好后有3個空位，最后用插空法將丙丁分別放進(jìn)其中2個空位中，分別分析每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2種情況討論，①、甲單獨(dú)參加一項(xiàng)比賽，②、甲與其他人共同參加比賽，由分步計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算每種情況的參賽方案數(shù)目，最后由分類計(jì)數(shù)原理，將兩種情況的參賽方案數(shù)目相加即可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，甲不能站在第一位，則甲可以站其他4個位置，共有4種站法，
剩余的4人站其他4個位置，有A₄⁴=24種站法，
則甲不能站在第一位的排法有4×24=96種，
（2）根據(jù)題意，甲乙必須相鄰，將甲乙視為1個元素，有2種不同的順序，
將其與戊排在一起，有2種不同的順序，
排好后有3個空位，將丙丁分別放進(jìn)其中2個空位中，有A₃²=6種情況，
則甲乙必須相鄰，丙丁必須不相鄰的排法有2×2×6=24種；
（3）根據(jù)題意，若每項(xiàng)比賽至少有一人參加，每名同學(xué)必須也只能參加一項(xiàng)比賽，則必須有2人參加同一項(xiàng)比賽，
故分2種情況討論：
①、甲單獨(dú)參加一項(xiàng)比賽，由于甲不能參加跳舞比賽，則甲有3種選法，
對于剩余4人，先從中任取2人，有C₄²=6種取法，將4人分為3組，
將3組對應(yīng)剩余的三項(xiàng)比賽，有A₃³=6種方法，
此時共有3×6×6=108種參賽方案，
②、甲與其他人共同參加比賽，甲只能與其余4人中的1人參加比賽，
由于甲不能參加跳舞比賽，則甲有3種選法，
剩余4人參加4項(xiàng)比賽，有A₄⁴=24種，
此時共有3×24=72種參賽方案，
則共有108+72=180種參賽方案．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，（1）中注意優(yōu)先分析特殊元素，（2）運(yùn)用捆綁法與插空法來分析相鄰與不相鄰問題，（3）注意分類討論的應(yīng)用．