Question

【題目】如圖，已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點.

（1）若，求三棱柱的體積；

（2）證明：平面；

（3）請問當為何值時，平面，試證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析；（3）時，平面，證明見解析.

【解析】

（1）直接根據三棱柱體積計算公式求解即可；

（2）利用中位線證明面面平行，再根據面面平行的性質定理證明平面；

（3）首先設為，利用平面列出關于參數的方程求解即可.

（1）∵三棱柱的側棱垂直于底面，

且，，，

∴由三棱柱體積公式得：；

（2）證明：取的中點，連接，，

∵，分別為和的中點，

∴，，

∵平面，平面，

∴平面，平面，

又，

∴平面平面，

∵平面，∴平面；

（3）連接，設，

則由題意知，，

∵三棱柱的側棱垂直于底面，

∴平面平面，

∵，∴，又點是的中點，

∴平面，∴，

要使平面，只需即可，

又∵，∴，

∴，即，

∴，則時，平面.