Question

函數(shù)f（x）=

3

2

sin（π-x）+

3

2

cos（π+x），方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：運(yùn)用誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有兩個(gè)不等的實(shí)根，則sin（x-

π

6

）=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個(gè)不等的實(shí)根．即為y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個(gè)交點(diǎn)．畫(huà)出它們的圖象，觀察計(jì)算即可得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

3

2

sin（π-x）+

3

2

cos（π+x）
=

3

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=

3

sin（x-

π

6

），
方程f（x）-k=0在x∈[0，π]上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則sin（x-

π

6

）=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個(gè)不等的實(shí)根．
即為y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k在x∈[0，π]上有兩個(gè)交點(diǎn)．
作出函數(shù)y=sin（x-

π

6

），y=

3

3

k．
則由圖象y=sin（x-

π

6

）的最大值為1，當(dāng)x=π時(shí)，y=sin（x-

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

，
則當(dāng)

1

2

≤

3

3

k＜1，即有

3

2

≤k＜

3

時(shí)，圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
則方程f（x）-k=0在，x∈[0，π]上有兩個(gè)不等的實(shí)根．
故答案為：[

3

2

，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．