Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)P （1，

3

2

），離心率e=

1

2

，右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若經(jīng)過F的直線l（不與x軸重合）交橢圓E與B，C兩點(diǎn)，延長BA，CA，分別交右準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)．求證：FN⊥FM．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)P （1，

3

2

），離心率e=

1

2

，確定橢圓的幾何量，即可求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分類討論，確定直線BA、CA的方程，求出M、N的坐標(biāo)，利用驗(yàn)證向量的數(shù)量積為0，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：由題意，∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)P （1，

3

2

），離心率e=

1

2

，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

∵a²=b²+c²
∴a²=4，b²=3
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）證明：由（1）知，A（2，0），F(xiàn)（1，0），右準(zhǔn)線方程為x=4．
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l方程為x=1，可得B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)．
所以直線BA方程為

y-0

3 2 -0

=

x-2

1-2

，當(dāng)x=4時(shí)，得y=-3，即M（4，-3）；
直線CA方程為

y-0

- 3 2 -0

=

x-2

1-2

，當(dāng)x=4時(shí)，得y=3，即N（4，3）．
因此

FM

=(3，-3)，

FN

=(3，3)
∴

FM

•

FN

=3×3+(-3)×3=0，即FN⊥FM．…（8分）
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由題意得

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，解之得x=

4k2±6 k2+1

4k2+3

，代入直線l方程得
B（

4k2+6 k2+1

4k2+3

，

6k k2+1 -3k

4k2+3

），C（

4k2-6 k2+1

4k2+3

，

-6k k2+1 -3k

4k2+3

）．…（10分）
直線BA方程為

y-0

6k k2+1 -3k 4k2+3 -0

=

x-2

4k2+6 k2+1 4k2+3 -2

，
當(dāng)x=4時(shí)，得M（4，

6k k2+1 -3k

3 k2+1 -2k2-3

），所以

FM

=（3，

6k k2+1 -3k

3 k2+1 -2k2-3

）．…（12分）
同理可求得

FN

=（3，

6k k2+1 +3k

3 k2+1 +2k2+3

）． …（14分）
∴

FM

•

FN

=9+

6k k2+1 -3k

3 k2+1 -2k2-3

•

6k k2+1 +3k

3 k2+1 +2k2+3

=9+

36k4+27k2

-4k4-3k2

=0，
∴FN⊥FM．
綜上，對于任意與x軸不重合的直線l，都有FN⊥FM．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線的方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的綜合能力，難度較大．