Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)分別為，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，的面積為12，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由的面積為12，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，列出關(guān)于的方程求解；（Ⅱ）用坐標(biāo)表示各點(diǎn)，然后求出的長(zhǎng)，計(jì)算比較即可.

試題解析：（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，，

∵的面積為12，，即．①                2分

此時(shí)，直線(xiàn)方程為．

∴點(diǎn)到的距離． ②    4分

由①②解得．             6分

∴所求橢圓方程為．       7分

（Ⅱ）如圖2，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，

由三點(diǎn)共線(xiàn)，及，

（說(shuō)明：也可通過(guò)求直線(xiàn)方程做）

得，

，即．   9分

由三點(diǎn)共線(xiàn)，及，

得，

，即．   11分

又，.             13分

而．   15分

，即有成等比數(shù)列．                       16分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、等比數(shù)列.