Question

已知函數(shù)f（x）=1-

2

3x+1

．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)；
（3）函數(shù)g（x）=x³•f（x），求證：g（x）≥0．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先判斷f（x）的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得結(jié)論；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得結(jié)論；
（3）由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，根據(jù)f（x）≥0，又x³≥0，可得g（x）≥0，進而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得x＜0時，f（x）＞0，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：（1）f（x）的定義域是R關于原點對稱，
且f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

3x+1

=

3x+1-2•3x

3x+1

=

-3x+1

3x+1

=-1+

2

3x+1

=-（1-

2

3x+1

）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
證明：（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=(1-

2

3x1+1

)-(1-

2

3x2+1

)=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，即：3x1-3x2＜0．又3^x＞0，
∴3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即：f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，所以只需研究x≥0的情形，
當x≥0時，
∵f(x)=

3x-1

3x+1

，3^x≥1，
∴3^x-1≥0，
∴f（x）≥0，又x³≥0，
∴x≥0時，g（x）≥0，
又g（x）為偶函數(shù)，
∴當x＜0時，f（x）＞0，
∴對x∈R，f（x）≥0

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷與證明，函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合考查，難度中檔．