Question

已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₂與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓外，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（

  3

  ，2）
• C、（

  2

  ，

  3

  ）
• D、（1，

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)斜率與平行的關(guān)系即可得出過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)，與另一條漸近線(xiàn)聯(lián)立即可得到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)M在以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓外和離心率的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線(xiàn)方程為y=±

b

a

x，
不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂與雙曲線(xiàn)的一條漸過(guò)線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為y=

b

a

（x-c），
與y=-

b

a

x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵點(diǎn)M在以線(xiàn)段F₁F₂為直徑的圓外，
∴|OM|＞|OF₂|，即有

c2

4

+

b2c2

4a2

＞c²，
∴

b2

a2

＞3，即b²＞3a²，
∴c²-a²＞3a²，即c＞2a．
則e=

c

a

＞2．
∴雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是（2，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟練掌握雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)、離心率的計(jì)算公式、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．