Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax²+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切與點（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求函數(shù)的極值；
（3）若函數(shù)在（m，m²+2m）上為減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解方程組求出即可，（2）求出導(dǎo)函數(shù)解不等式求出單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值，（3）解方程組即可解出m的范圍．

解答： 解：（1）求導(dǎo)得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11①，
3-6a+3b=-12②，
由①②解得：a=1，b=-3；
（2）由a=1，b=-3得：
f（x）=x³-3x²-9x，
f′（x）=3x²-6ax+3b=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故當x∈（-∞，-1）時，f（x）是增函數(shù)，
當x∈（3，+∞）時，f（x）也是增函數(shù)，
但當x∈（-1，3）時，f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）_極大值=f（-1）=5，f（x）_極小值=f（3）=-27．
（3）由題意得：

m≥-1 m2+2m≤3 m2+2m＞m

，
解得0＜m≤1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道比較基礎(chǔ)的題．