已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+
3
cos2x-
3
2

（1）求y=f（x）在x∈[0，
π
2
]上的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）把y=f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位后得到的圖象，其大于零的零點從小到大組成數(shù)列{xn}，求數(shù)列{xn}的前n項和Sn．
分析：（1）利用二倍角公式與兩角和的正弦函數(shù)化簡y=f（x），利用正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過左加右減的原則求出y=f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位后得到的圖象對應的解析式，其大于零的零點從小到大組成數(shù)列{xn}，然后求解數(shù)列{xn}的前n項和Sn
解答：解：（1）f(x)=sinxcosx+
3
cos2x-
3
2
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x=sin(2x+
π
3
)，
當x∈[0，
π
2
]時，
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，-
3
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1，
故值域為[-
3
2
，1]，
令2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
 k ∈Z，解得kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
 ， k ∈Z，
k=0時，解得-
5π
12
≤x≤
π
12
，又x∈[0，
π
2
]
所以當x∈[0，
π
12
]上函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)單調(diào)遞增，
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
  ，k ∈Z，解得kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
， k ∈Z，
k=0時，解得
π
12
≤x≤
7π
12
，，又x∈[0，
π
2
]
所以當x∈[
π
12
，
π
2
]上函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)遞減
綜上，在區(qū)間[0，
π
12
]上函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)單調(diào)遞增，在區(qū)間[
π
12
，
π
2
]上函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)遞減．       
（2）f(x)=sin(2x+
π
3
)右平移
π
6
個單位后得到g（x）=sin2x，
令g(x)=sin2x=0⇒xn=
nπ
2
(n∈N+)，數(shù)列{xn}是以
π
2
為首項，以
π
2
為公差的等差數(shù)列
故其前n項和為Sn=
π
2
•n+
n(n-1)
2
•
π
2
=
π
4
n(n+1)，
點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式與兩角和的正弦函數(shù)的應用，考查函數(shù)與數(shù)列相結合的問題，考查計算能力．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當x∈S時有x2∈S，給出下列四個結論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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