Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知，是否對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，λ，都有成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為
則，
∴橢圓方程．
（2）若成立，則向量與x軸垂直，
由菱形的幾何性質(zhì)知，∠AMB的平分線應(yīng)與x軸垂直．為此只需考察直線MA，MB的傾斜角是否互補(bǔ)即可．
由已知，設(shè)直線l的方程為：
由，∴
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
只需證明k₁+k₂=0即可，
設(shè)
由x²+2mx+2m²-4=0可得，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，而


=
=
=
=，
∴k₁+k₂=0，
直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)．
故對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，λ，都有成立．
分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍求得a和b的關(guān)系，把點(diǎn)M代入橢圓的方程求得a和b的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)推斷出與x軸垂直，進(jìn)而根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)知，∠AMB的平分線應(yīng)與x軸垂直，問題轉(zhuǎn)化為求直線MA，MB的傾斜角是否互補(bǔ)，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出k₁和k₂，求得k₁+k₂=0，推斷出直線MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，進(jìn)而證明題設(shè)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合問題．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用，統(tǒng)籌運(yùn)算的能力．