如圖2-6-25,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,∠A的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于D,交⊙O于E,求證:AD2=BD·CD-AB·AC.

圖2-6-25

思路分析:由BD·CD可聯(lián)想到割線定理,則BD·CD=DA·DE=DA(AD+AE)=AD2+AD·AE.

只需證AD·AE=AB·AC即可.

事實(shí)上,由△ABE∽△ADC易證.

證明:連結(jié)BE,

由割線定理,得BD·CD=DA·DE,

∵∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.

又∵∠ACD=∠E,∴△ABE∽△ADC.

∴=.

∴AB·AC=AD·AE.

∴BD·CD-AB·AC=DA·DE-AD·AE=AD(DE-AE)=AD2.

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