Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，且.

（1）求的平分線所在的直線方程；

（2）設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.且為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓過點(diǎn)，且得到，從而解得橢圓的方程，設(shè)角平分線與軸交于，易得，，利用角平分線定理，可得.由點(diǎn)寫出的方程.

（2）設(shè)，.，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零和求得k的范圍，再由求解.

（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為.

設(shè)角平分線與軸交于，

因?yàn)?/span>，，

所以，，

所以，

所以，解得.

因?yàn)橹本€的斜率，

所以直線的方程為，即.

（2）設(shè)，.則，消去y得：

∴，

由，，，

得.①

由，得，所以.

又.

∴，

，

所以.②

綜合①②可知.

，

令，則，，

所以，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增.

所以在上單調(diào)遞減，

當(dāng)，即時(shí)，的面積最大，最大值為.