Question

已知直線y=kx-4k+1與曲線

1-(x-1)2

=|y-1|-2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

{

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}

．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)曲線方程可得曲線為2個(gè)圓，當(dāng)直線和每一個(gè)圓相切時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得k的值，即可求得k的范圍．

解答：解：由曲線

1-(x-1)2

=|y-1|-2，可得當(dāng)y≥1時(shí)，（x-1）²+（y-3）²=1，
表示一個(gè)以A（1，3）為圓心，半徑等于1的圓．
當(dāng)y＜1時(shí)，由曲線方程可得（x-1）²+（y+1）²=1，表示以B（1，-1）為圓心，以1為半徑的一個(gè)圓．
由于直線y=kx-4k+1=k（x-4）+1 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（4，1）．
①當(dāng)直線和圓（x-1）²+（y-3）²=1相切時(shí)，由圓心A（1，3）到直線的距離d=r=1=

|k×1-3-4k+1|

k2+1

，
解得 k=

-3- 3

4

，k=

-3+ 3

4

．
②當(dāng)直線和圓（x-1）²+（y+1）²=1相切時(shí)，由圓心B（1，-1）到直線的距離d′=r′=1=

|k×1+1-4k+1|

k2+1

，
解得 k=

3+ 3

4

，或 k=

3- 3

4

．
根據(jù)直線與曲線

1-(x-1)2

=|y-1|-2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
結(jié)合圖形可得k的范圍是{

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}，
故答案為 {

-3- 3

4

，

-3+ 3

4

，

3- 3

4

，

3+ 3

4

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．