已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1(-1,0)、F2(1,0)的距離之和為常數(shù),曲線C的離心率
(1)求圓錐曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B,試證明在x軸上存在一個定點P,使的值是常數(shù).
【答案】分析:(1)根據(jù)橢圓的定義判斷出圓錐曲線C是橢圓,得到橢圓中的參數(shù)c的值,再根據(jù)離心率的公式求出參數(shù)a,利用三個參數(shù)的關(guān)系求出b,寫出橢圓的方程.
(2)假設(shè)存在點p,分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論,當斜率存在時,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理得到交點的坐標滿足的關(guān)系,利用交點坐標表示出,要使其為常數(shù),令分子、分母的對應(yīng)項的系數(shù)成比例,求出p的坐標,當直線的斜率不存在時將p的坐標代入檢驗即可.
解答:解:(1)依題意,設(shè)曲線C的方程為(a>b>0),
∴c=1,

∴a=2,

所求方程為
(2)當直線AB不與x軸垂直時,設(shè)其方程為y=k(x-1),

得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,
從而,,
設(shè)P(t,0),則
=
,
解得
此時對?k∈R,;
當AB⊥x軸時,直線AB的方程為x=1,
xA=xB=1,,
,,
即存在x軸上的點,使的值為常數(shù)
點評:求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法,注意橢圓中三個參數(shù)a,b,c的關(guān)系滿足a2=b2+c2;解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題,一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到二次方程,利用韋達定理找突破口.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1(-1,0)、F2(1,0)的距離之和為常數(shù),曲線C的離心率e=
1
2

(1)求圓錐曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B,試證明在x軸上存在一個定點P,使
PA
PB
的值是常數(shù).
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1(-1,0)、F2(1,0)的距離之和為常數(shù),曲線C的離心率數(shù)學公式
(1)求圓錐曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B,試證明在x軸上存在一個定點P,使數(shù)學公式的值是常數(shù).

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學 來源:江門一模 題型:解答題

已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F1(-1,0)、F2(1,0)的距離之和為常數(shù),曲線C的離心率e=
1
2

(1)求圓錐曲線C的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B,試證明在x軸上存在一個定點P,使
PA
PB
的值是常數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省汕尾市陸豐市啟恩中學高二(下)第二次段考數(shù)學試卷(理科 )(解析版) 題型:解答題

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