Question

如圖，在四棱錐A－ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O，E為側(cè)棱SC上一點(diǎn)．

(1)當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時，求證：SA∥平面BDE；

(2)求證：平面BDE⊥平面SAC；

(3)當(dāng)二面角E－BD－C的大小為45°時，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(Ⅰ)連接，由條件可得∥． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4716/0018/6833bf309486cd073214447c598dccdc/C/Image223.gif" width=38 height=22>平面，平面， 　　所以∥平面． 　　(Ⅱ)法一：證明：由已知可得，，是中點(diǎn)， 　　所以， 　　又因?yàn)樗倪呅?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4716/0018/6833bf309486cd073214447c598dccdc/C/Image234.gif" width=49 height=19>是正方形，所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4716/0018/6833bf309486cd073214447c598dccdc/C/Image236.gif" width=91 height=21>，所以． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4716/0018/6833bf309486cd073214447c598dccdc/C/Image238.gif" width=94 height=22>，所以平面平面． 　　(Ⅱ)法二：證明：由(Ⅰ)知，． 　　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 　　設(shè)四棱錐的底面邊長為2， 　　則，，， 　　，，． 　　所以，． 　　設(shè)()，由已知可求得． 　　所以，． 　　設(shè)平面法向量為， 　　則　即 　　令，得． 　　易知是平面的法向量． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4716/0018/6833bf309486cd073214447c598dccdc/C/Image265.gif" width=263 height=42>， 　　所以，所以平面平面　　(8分) 　　(Ⅲ)解：設(shè)()，由(Ⅱ)可知， 　　平面法向量為． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4716/0018/6833bf309486cd073214447c598dccdc/C/Image267.gif" width=118 height=22>， 　　所以是平面的一個法向量． 　　由已知二面角的大小為． 　　所以， 　　所以，解得． 　　所以點(diǎn)是的中點(diǎn)　　(12)