【題目】設(shè)函數(shù),其中
.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),試證明:函數(shù)
有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
,且
.
【答案】(1)見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,然后分情況討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理討論零點(diǎn)所在的區(qū)間,構(gòu)造
,判斷
在
的單調(diào)性,得到
,
,再根據(jù)
,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明
(1)函數(shù)定義域?yàn)?/span>
,
,
時(shí),
恒成立,故
的解集為
.
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
時(shí),
有兩個(gè)實(shí)根:-1,
.
當(dāng)時(shí),
,令
,解得
.
故在
上單調(diào)遞減,在
,
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,令
,解得
.
故在
上單調(diào)遞減,在
,
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
恒成立,
為
上的增函數(shù).
(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
故.
又,
.
由零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)
,
.
令,有
.
.
時(shí),
,函數(shù)
單調(diào)遞增,所以
.
即,又
,所以
.
,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,所以
.
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家,公元五世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截,如果截面面積恒相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等.設(shè)A,B為兩個(gè)同高的幾何體,A,B的體積不相等,
A,B在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,p是q的( �。�
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
,
為正實(shí)數(shù).
(1)若的圖象總在函數(shù)
的圖象的下方,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè),證明:對任意
,都有
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=-ln(x+m).
(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在多面體中,四邊形
是正方形,
,
,
,
.
(Ⅰ) 求證: 平面
;
(Ⅱ)在線段上確定一點(diǎn)
,使得平面
與平面
所成的角為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是衡量空氣污染程度的一個(gè)指標(biāo),為了了解
市空氣質(zhì)量情況,從
年每天的
值的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取
天的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖所示.將
值劃分成區(qū)間
、
、
、
,分別稱為一級、二級、三級和四級,統(tǒng)計(jì)時(shí)用頻率估計(jì)概率 .
(1)根據(jù)年的數(shù)據(jù)估計(jì)該市在
年中空氣質(zhì)量為一級的天數(shù);
(2)如果市對環(huán)境進(jìn)行治理,經(jīng)治理后,每天
值
近似滿足正態(tài)分布
,求經(jīng)過治理后的
值的均值下降率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn),他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”. 其含義是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖,夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為
,則“
相等”是“
總相等”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
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