Question

 

   如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1

（Ⅰ）設(shè)P為AC的中點(diǎn)，Q在AB上且AB=3AQ，證明：PQ⊥OA；

（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

（Ⅰ）在平面OAB內(nèi)作ONOA交AB于N，連接CN，在△AOB中，且OA=OB,。在Rt△AON中，,。

在△ONB中，.。又AB=3AQ，Q為AN的中點(diǎn)。在△CAN中，分別為AC,AN的中點(diǎn)，.由OAOC，OAON知：OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.

（Ⅱ）連結(jié)PN,PO.

      由OCOA，OCOB知：OC平面OAB。

      又ON平面OAB， OCON.又由ONOA知：ON平面AOC. OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影。

      在等腰Rt△COA中，P為AC的中點(diǎn)，ACOP。

      根據(jù)三垂線定理，知：ACNP.

      為二面角O-AC-B的平面角。

      在等腰Rt△COA中，OC=OA=1, OP=。

      在Rt△AON中，ON=OA=，

      在Rt△PON中，PN==,

      cos。

解法二:

(Ⅰ)取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A,OC所在的直線為x軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖所示）。

   則A(1,0,0),C（0,0,1），B。

   。。

     又由已知，可得

又..

.故。

（Ⅱ）記平面ABC的法向量，則由n,n，且=（1,0，-1）。

      得故可取。

      又平面OAC的法向量為e=（0,1,0）。

     

      二面角O-AC-B的平面角是銳角，記為，則。