Question

 

如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點(diǎn)；

（Ⅰ）求證：面＇；

（Ⅱ）求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）證明（方法一）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?sub>＇，所以面＇；┅┅┅┅┅┅…………………………………┅６分

（方法二）取中點(diǎn)，連接，

由題可得，又因?yàn)槊?sub>面，

所以面，又因?yàn)榱庑?sub>中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系┅┅┅┅2分

不妨設(shè)，可得，，，

所以所以，┅┅┅┅┅┅┅4分

設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?sub>面＇，所以面＇.

┅┅┅┅┅┅┅7分

(Ⅱ）（方法一）

過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，連接.因?yàn)?sub>，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角.------------------------------８分

 

因?yàn)槊?sub>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法二可得，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則

，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

 

所以，因?yàn)槎�面�?sub>為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分