設(shè)F1、F2為橢圓16x2+25y2=400的焦點,P為橢圓上的一點,且∠F1PF2=120°,則△PF1F2的面積為________.
16
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分析:根據(jù)橢圓的定義,得PF
1+PF
2=2a=10…①,再在△F
1PF
2中用余弦定理,得PF
12+PF
22+PF
1•PF
2=36…②.由①②聯(lián)解,得PF
1•PF
2=64,最后用根據(jù)正弦定理關(guān)于面積的公式,可得△PF
1F
2的面積.
解答:∵橢圓方程是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3302.png)
,
∴a
2=25,b
2=16.可得a=5,c
2=25-16=9,即c=3.
∵P是橢圓
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上的一點,F(xiàn)
1、F
2是焦點,
∴根據(jù)橢圓的定義,得PF
1+PF
2=2a=10…①
又∵△F
1PF
2中,∠F
1PF
2=60°且F
1F
2=2c=6
∴根據(jù)余弦定理,得F
1F
22=PF
12+PF
22-2PF
1•PF
2cos120°=36
即PF
12+PF
22+PF
1•PF
2=36…②
∴①②聯(lián)解,得PF
1•PF
2=64
根據(jù)正弦定理,得△PF
1F
2的面積為:S=
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PF
1•PF
2sin120°=16
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故答案為:16
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點評:本題給出橢圓上一點對兩個焦點的張角為120°,求橢圓兩焦點與該點構(gòu)成三角形的面積,著重考查了橢圓的簡單性質(zhì)和正、余弦定理等知識點,屬于中檔題.