如圖,橢圓C:過點M(1,),N(),梯形ABCD(AB∥CD∥y軸,且AB>CD)內(nèi)接于橢圓,E是對角線AC與BD的交點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設AB=m,CD=n,OE=d,試求的最大值.

【答案】分析:(Ⅰ)把M、N兩點坐標代入橢圓方程解方程組即可;
(Ⅱ)易判斷點E在x軸上,則E(d,0),設BD的方程為x=ky+d(k>0),與橢圓方程聯(lián)立消x得關于y的一元二次方程,設B(x1,y1),D(x2,y2),由韋達定理可得y1+y2,進而可把m-n、用k表示出來,再利用基本不等式即可求得其最大值.
解答:解:(Ⅰ)由題意得
解得a2=9,b2=4,
所以橢圓C的方程為:
(Ⅱ)根據(jù)對稱性可知點E在x軸上,則E點的坐標為(d,0),
設BD的方程為x=ky+d(k>0),由得(9+4k2)y2+8dky+4d2-36=0,
設B(x1,y1),D(x2,y2),則y1+y2=-,
m-n=-2y1-2y2=,
從而==
等號當且僅當k=取得.
的最大值為
點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解,考查基本不等式在求最值中的應用,考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力,(Ⅱ)問關鍵是表示為k的函數(shù).
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•閘北區(qū)二模)如圖,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A1、A2為橢圓C的左、右頂點.
(Ⅰ)設F1為橢圓C的左焦點,證明:當且僅當橢圓C上的點P在橢圓的左、右頂點時|PF1|取得最小值與最大值;
(Ⅱ)若橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.求橢圓C的標準方程;
(Ⅲ)若直線l:y=kx+m與(Ⅱ)中所述橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且滿足AA2⊥BA2,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.

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