在三棱臺(tái)ABC－中，側(cè)棱⊥底面ABC，∠ABC＝∠＝．

　　

(Ⅰ)求證：

(Ⅱ)若＝1，AB＝2，求二面角B－－C的正切值；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求點(diǎn)到平面的距離．

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：

　　∵⊥平面ABC，

　　∴⊥BC．

　　又∠ABC＝，

　　∴BC⊥AB．

　　由于∩AB＝B，

　　∴BC⊥平面，

　　∴在平面上的射影，

　　∵，

　　

(Ⅱ)解：設(shè)＝α，由(Ⅰ)知α為B－－C的平面角．

　　取AB的中點(diǎn)D，連，則為的BA邊上的中線．

　　由于BD＝，又BD∥⊥BD．

　　∴四邊形是矩形．

　　∴⊥BA，又，

　　∴是等腰直角三角形．

　　從而是正方形．

　　∴．

　　∵，∴CB＝BA＝2．

　　∵BC⊥面，

　　∴BC⊥．

　　∴在中，得tanα＝，∴α＝arctan．

　　∵⊥面ABC，，

　　∴⊥面ABC．

　　由D作DE⊥CA交CA于E，連，則⊥CA．

　　∴為二面角－CA－B的平面角．

　　設(shè)＝β．

　　由，

　　∴在中，，

　　∴α＝β，即二面角B－－C與二面角－CA－B的大小相等，

(Ⅲ)解：

　　∵∥BC，∴

　　∴點(diǎn)的距離．

　　連于O，

　　∵四邊形．

　　由(Ⅰ)知BC⊥平面，

　　∴⊥BC

　　∴．

　　∴的距離．

　　∵，

　　∴點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)的距離為．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，CA，CB，CC1兩兩垂直且長(zhǎng)度相等，B1C1=
1
2
BC，D為BB1中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=
1
4
BA，
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）設(shè)二面角B1-AB-C的大小為θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求點(diǎn)C到平面ABB1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠BAC=∠BC1C=90°，A1C1=a，C1B=2a．
（I）求證AB⊥平面AA1C1C；
（II）求證C1C⊥平面ABC1；
（III）求AC與BC1所成的角．

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如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，CA，CB，CC1兩兩垂直且長(zhǎng)度相等，B1C1=數(shù)學(xué)公式BC，D為BB1中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=數(shù)學(xué)公式BA，
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）設(shè)二面角B1-AB-C的大小為θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求點(diǎn)C到平面ABB1的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2003年浙江省杭州二中高三月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，CA，CB，CC1兩兩垂直且長(zhǎng)度相等，B1C1=BC，D為BB1中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且BE=BA，
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC1A1；
（Ⅱ）設(shè)二面角B1-AB-C的大小為θ，求tgθ；
（Ⅲ）若AC=2，求點(diǎn)C到平面ABB1的距離．

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