Question

已知直線x+y=1過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)T（-1，0）作直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)若在x軸上存在一點(diǎn)E（x₀，0），使得△ABE是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）利用直線x+y=1過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F，可得F（1，0），故可求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l；y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x（x＞0）得k²x²+2（k²-2）x+k²=0，確定線段AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，令y=0，得x0=

2

k2

+1，利用△ABE是等邊三角形，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）直線x+y=1與x軸交于（1，0）
∵直線x+y=1過(guò)拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F
∴拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），故p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線l：y=k（x+1）（k≠0）代入y²=4x（x＞0），消元可得k²x²+2（k²-2）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

2(k2-2)

k2

，x₁x₂=1，
∴AB的中點(diǎn)為(

2-k2

k2

，

2

k

)，
∴線段AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-k2

k2

)，
令y=0，得x0=

2

k2

+1
∵△ABE是等邊三角形，∴點(diǎn)E到直線l的距離為

3

2

|AB|，
∵點(diǎn)E到直線l的距離為

|kx0|

k2+1

，|AB|=

1+k2

×

4 1-k2

k2

，
∴

|kx0|

k2+1

=

3

2

×

1+k2

×

4 1-k2

k2

∴k=±

3

2

∴x0=

2

k2

+1=

11

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)線距離的計(jì)算，屬于中檔題．