用單調(diào)函數(shù)的定義求函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)區(qū)間.

思路解析:緊扣單調(diào)函數(shù)的定義是研究函數(shù)單調(diào)性的重要方法.

解:任取x1,x2∈R,且-∞＜x1＜x2＜+∞,

f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)=(x13-x23)-3(x1-x2)=(x1-x2)［(x22+x1x2+x12)-3］.

∵ x1＜x2,∴x1-x2＜0.令x1=x2=t,則x22+x1x2+x12-3=3t2-3=0.

∴t=-1,1.

①在區(qū)間(-∞,-1)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0.

∴f(x1)＜f(x2).∴函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(-∞,-1)上是增函數(shù)；

②在區(qū)間(-1,-1)上,x22+x1x2+x12＜3,∴ x22+x1x2+x12-3＜0.

∴f(x1)＞f(x2).∴函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù)；

③在區(qū)間(1,+∞)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0.

∴f(x1)＜f(x2).∴函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).

深化升華

利用函數(shù)的單調(diào)性的定義可以研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是找到增、減變化的分界點.在“作差”“變形”后,一部分的符號已經(jīng)確定,而一部分的符號不確定,分析這一部分的符號變化就可以找到增、減分界點,而x1,x2是定義域上任意取的,在此可以認為x1,x2無限接近于某個值,再令這部分等于零即可求得增、減分界點.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

探究函數(shù)f（x）=2x+
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x
-3在區(qū)間（0，+∞）上的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …
（1）觀察表中y值隨x值變化趨勢的特點，請你直接寫出函數(shù)f（x）=2x+
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x
-3在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，并指出f（x）的最小值及此時x的值．
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=2x+
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x
-3在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=2x+
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x
-3在區(qū)間（0，a]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源：同步題 題型：解答題

用導數(shù)的定義求函數(shù)f（x）=在x=1處的導數(shù)。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用導數(shù)的定義,求函數(shù)y=f(x)=在x=1處的導數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

用導數(shù)的定義,求函數(shù)y=f(x)=在x=1處的導數(shù).

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