Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與＝(3，－1)共線．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設M為橢圓上任意一點，且(λ，μ∈R)，證明λ²＋μ²為定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，F(c，0)， 　　則直線AB的方程為y＝x－c，代入＝1， 　　化簡得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0． 　　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝． 　　由＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(3，－1)，與共線，得 　　3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0． 　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c， 　　∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0， 　　∴x1＋x2＝即＝，∴a2＝3b2， 　　∴c＝． 　　故離心率為e＝＝． 　　(2)證明：由(Ⅰ)知a2＝3b2，所以橢圓＝1可化為x2＋3y2＝3b2． 　　設＝(x，y)，由已知得(x，y)＝λ(x1，y2)＋μ(x2，y2)， 　　∴ 　　∵M(x，y)在橢圓上，∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2． 　　即λ2()＋μ2()＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2．① 　　由(1)知x1＋x2＝c，a2＝c2，b2＝c2． 　　∴x1x2＝， 　　∴x1x2＋3y1y2＝x1·x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝＋3c2＝0， 　　又＝3b2，＝3b2，代入①得λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2為定值，定值為1． 　　分析：本題只要根據題意先假設出橢圓的方程，再由題意將相關的直線方程表示出來，聯(lián)立將方程消去一個未知數，再由根與系數間的關系，從而將問題求解．