Question

棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的8個頂點都在球O的表面上，E、F分別是棱AA₁、DD₁的中點，點P₁，P₂分別是線段AB，BD₁（不包括端點）上的動點，且線段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，則
（1）直線EF被球O截得的線段長為

 

．
（2）四面體P₁P₂AB₁的體積的最大值是

 

．

Answer 1

考點：球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）球心O到EF中點的距離d=

1

2

，球O的半徑R=

3

2

，故直線EF被球O截得的線段長為：2

R2-d2

．
（2）由題意可得△P₁P₂B∽△AD₁B，設(shè)出P₁B=x，則P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距離為x，求出四面體的體積，通過二次函數(shù)的最值，求出四面體的體積的最大值．

解答： 解：（1）球心O到EF中點的距離d=

1

2

，
球O的半徑R=

3

2

，
故直線EF被球O截得的線段長為：2

R2-d2

=

2

，
（2）如下圖所示：

由題意在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P₁，P₂分別是線段AB，BD₁（不包括端點）上的動點，且線段P₁P₂平行于平面A₁ADD₁，
可得△P₁P₂B∽△AD₁B，
設(shè)P₁B=x，x∈（0，1），
則P₁P₂=

2

x，P₂到平面AA₁B₁B的距離為x，
所以四面體P₁P₂AB₁的體積為V=

1

3

×

1

2

×1×x×（1-x）=

1

6

（x-x²），
當(dāng)x=

1

2

時，體積取得最大值：

1

24

．
故答案是：（1）

2

，（2）

1

24

．

點評：本題考查正方體中，幾何體的體積的求法，找出所求四面體的底面面積和高是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．