Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓C的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)，滿足線段PF₁的中垂線過(guò)點(diǎn)F₂．直線l：y=kx+m為動(dòng)直線，且直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓C上存在點(diǎn)Q，滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)λ取何值時(shí)，△ABO的面積最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，設(shè)橢圓C的方程為，根據(jù)在橢圓C的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)，滿足線段PF₁的中垂線過(guò)點(diǎn)F₂．可得幾何量之間的關(guān)系，進(jìn)而可得橢圓方程；
（Ⅱ）減法直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由此可得，根據(jù)，可得
利用點(diǎn)Q在橢圓上，可得方程4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．進(jìn)而可確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍
（Ⅲ）由于，點(diǎn)O到直線AB的距離，故可表示△AOB的面積，可整理成關(guān)于λ的函數(shù)，進(jìn)而可求△ABO的面積最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，半焦距為c，
依題意有
解得
∴b=1．
∴所求橢圓方程為．            …3分
（Ⅱ）由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則…5分．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則λ=0．
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)A、B不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則λ≠0，
由，得即
∵點(diǎn)Q在橢圓上，
∴有，
化簡(jiǎn)，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①…7分
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②…8分
將①、②兩式，得φ（x）=2elnx（e．∵m≠0，∴λ²＜4，則-2＜λ＜2且λ≠0．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2． …9分
注：此題可根據(jù)圖形得出當(dāng)m=0時(shí)λ=0，當(dāng)A、B兩點(diǎn)重合時(shí)λ=±2．
如果學(xué)生由此得出λ的取值范圍是-2＜λ＜2可酌情給分．
（Ⅲ）∵，點(diǎn)O到直線AB的距離，
∴△AOB的面積==．           …12分
由①有，代入上式并化簡(jiǎn)，得．∵，
∴．                    …13分
當(dāng)且僅當(dāng)λ²=4-λ²，即時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)時(shí)，△ABO的面積最大，最大值為． …14分．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，主要考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，要注意橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系為：a²=b²+c²；求解直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，通常是聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求解．