Question

設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為Sn,已知，且對一切都成立．

（1）若λ = 1，求數(shù)列的通項公式；

（2）求λ的值，使數(shù)列是等差數(shù)列．

 

Answer 1

（1）an=2n?1（2）λ=0.

【解析】

試題分析：（1）本題屬于“已知求”,利用化簡關(guān)系式. 因為，所以先分離與，即，這是類等比，利用疊乘法得到，再利用，消去得.求數(shù)列{an}通項公式時，需討論當n = 1時是否滿足的情形.（2）解答本題需注意邏輯關(guān)系，由數(shù)列是等差數(shù)列得λ = 0，這是一個必要條件，還需驗證其充分性，即λ = 0時，數(shù)列是等差數(shù)列.這可類似（1）的解答過程.

試題解析：【解析】
（1）若λ = 1，則，．

又∵， ∴， 2分

∴，

化簡，得．① 4分

∴當時，．②

② ? ①，得，∴（）． 6分

∵當n = 1時， ，∴n = 1時上式也成立，

∴數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列， an = 2n?1（）． 8分

（2）令n = 1，得．令n = 2，得． 10分

要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得λ = 0． 11分

當λ = 0時，，且．

當n≥2時，，

整理，得，， 13分

從而，

化簡，得，所以 15分

綜上所述，（），

所以λ = 0時，數(shù)列是等差數(shù)列． 16分

考點：已知求