Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)PF垂直于該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)l₁于P(

3

3

，

6

3

)．
（1）求該雙曲線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l₂交該雙曲線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，如果|MN|=4，求直線(xiàn)l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先由雙曲線(xiàn)方程求出漸近線(xiàn)方程，再聯(lián)立接觸交點(diǎn)坐標(biāo)，與P(

3

3

，

6

3

)為同一點(diǎn)，可求出a，b值，則雙曲線(xiàn)方程可求．
（2）可先設(shè)帶參數(shù)的直線(xiàn)l₂的方程，再代入雙曲線(xiàn)方程，用弦長(zhǎng)公式求出長(zhǎng)度，與所給長(zhǎng)度4相等，可求出參數(shù)的值，直線(xiàn)l₂的方程就能求出．

解答：解：（1）設(shè)F（c，0），l1：y=

b

a

x，PF：y=-

a

b

(x-c)
解方程組

y= b a x y=- a b (x-c)

得P(

a2

c

，

ab

c

)
又已知P(

3

3

，

6

3

)．∴a=1，b=

2

∴雙曲線(xiàn)方程為x2-

y2

2

=1
（2）若直線(xiàn)l₂過(guò)右焦點(diǎn)為F（

3

，0），可設(shè)直線(xiàn)l₂的方程為x=my+

3

代入x2-

y2

2

=1，
得(2m2-1)y2+4

3

my+4=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則y1+y2=-

4 3 m

2m2-1

，y1•y2=

4

2m2-1

∴|y1-y2|=

4 m2+1

|2m2-1|

故|MN|=

m2+1

•|y1-y2|=

4(m2+1)

|2m2-1|

∴

4(m2+1)

|2m2-1|

=4
解得：m=0或m=±

2

∴所求直線(xiàn)l₂的方程為x=

3

和y=±

2

2

(x-

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，用到求交點(diǎn)坐標(biāo)，以及弦長(zhǎng)公式，做題時(shí)認(rèn)真分析，找到正確解法．