Question

已知橢圓的中心在原點，焦點與雙曲線

x2

10

-

y2

5

=1的焦點相同，且經(jīng)過點M（4，1）；直線l：y=x+m交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l不過點M，試問直線AM，BN與x軸是否能構(gòu)成一個等腰三角形？請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）橢圓方程為

x2

15+λ

+

y2

λ

=1（λ＞0），待定系數(shù)法求解，（2）解方程組

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

，得5x²+8mx+4m²-20=0，利用韋達(dá)定理求解，k₁+k₂=

(y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1)

(x1-4)(x2-4)

=0即可證明．

解答： 解：（1）以題意可知，橢圓中的半焦距c²=10+5=15，
設(shè)橢圓方程為

x2

15+λ

+

y2

λ

=1（λ＞0）
∵過點M（4，1），
∴

16

16+λ

+

1

λ

=1，∴λ=5或λ=-3（舍去）
∴

x2

20

+

y2

5

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
解方程組

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

，得5x²+8mx+4m²-20=0
x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

設(shè)直線MA．MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁=

y1-1

x1-4

，k₂=

y2-1

x2-4

，k₁+k₂=

(y1-1)(x2-4)+(x1-4)(y2-1)

(x1-4)(x2-4)

∵（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=0，
∴k₁+k₂=0，
∴直線AM，BN與x軸能構(gòu)成一個等腰三角形

點評：本考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合方程求解，運用韋達(dá)定理判斷，屬于中檔題．