Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁．

(Ⅰ)求證：AB⊥BC；

(Ⅱ)若AA₁＝AC＝a，直線AC與平面ABC所成的角為θ，二面角A₁－BC－A的大小為，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：如下圖，過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則 　　由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1，且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1＝A1B， 　　得AD⊥平面A1BC．又BC平面A1BC 　　所以AD⊥BC． 　　因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC． 　　又AA1∩AD＝A，從而BC⊥側(cè)面A1ABB1， 　　又AB側(cè)面A1ABB1， 　　故AB⊥BC． 　　(Ⅱ)證法1：連接CD，則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的頰角，即∠ACD＝θ，∠ABA1＝． 　　于是在RtΔADC中，sinθ＝，在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝， 　　∴sinθ＝sin∠AA1D，由于θ與∠AA1D都是銳角，所以θ＝∠AA1D． 　　又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝，故θ＋＝． 　　　證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 　　設(shè)AB＝c(c＜a＝，則B(0，0，0)，A(0，c，0)，C()， 　　A1(0，c，a)，于是，＝(0，c，a)， 　　?????c，a? 　　設(shè)平面A1BC的一個法向量為n＝(x，y，z)， 　　則由 　　可取n＝(0，－a，c)，于是 　　n·＝ac＞0，與n的夾角θ為銳角，則β與θ互為余角? 　　sinθ＝cosβ＝， 　　cos＝ 　　所以sinθ＝cos＝sin()，又0＜θ，＜，所以θ＋＝． 　　本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角、二面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理論證能力．(滿分12分)