Question

給出下列命題，其中正確命題的序號是           （填序號）。

（1）已知橢圓兩焦點(diǎn)為，則橢圓上存在六個不同點(diǎn),使得為直角三角形；

（2）已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于兩點(diǎn)，則的最小值為2；

（3）若過雙曲線的一個焦點(diǎn)作它的一條漸近線的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則；

（4）已知⊙⊙則這兩圓恰有2條公切線。

 

Answer 1

【答案】

（ 1） （ 3）（ 4）

【解析】

試題分析：橢圓的兩個焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），當(dāng)F₁M垂直于x 軸時，這樣的點(diǎn)M有2個． 當(dāng)MF₂垂直于x 軸時，這樣的點(diǎn)M有2個．當(dāng)∠F₁MF₂  為直角時，點(diǎn)M恰是橢圓短軸的端點(diǎn)（0，，2），這樣的點(diǎn)M有2個，綜上，這個橢圓上存在六個不同的點(diǎn)M，使得△F₁MF₂為直角三角形，故①正確．

因?yàn)檫^拋物線y=2x²的焦點(diǎn)，且與這條拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為拋物線的通徑2p，由拋物線y=2x²的方程即x²=y 知，p=，2p=，則|AB|的最小值為，故②不正確．

因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)為（c，0），一條漸近線的方程 y=，故垂線方程為 y-0=-（x-c），它與漸近線 y= 的交點(diǎn)M（），所以MO=a，故③正確．

因?yàn)椤袰₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圓心為（-1，0），半徑等于1的圓；⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圓心為（0，-1），半徑等于的圓．兩圓的圓心距等于，大于兩圓的半徑之差，小于兩圓的半徑之和，故兩圓相交，故兩圓的公切線有2條，故④正確．

故答案為：①③④．

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)；圓與圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評：掌握圓錐曲線的性質(zhì)是解題的前提，靈活應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。屬于中檔題。