Question

已知直線l₁：ax-by+k=0；l₂：kx-y-1=0，其中a是常數(shù)，a≠0．
（1）求直線l₁和l₂交點(diǎn)的軌跡，說(shuō)明軌跡是什么曲線，若是二次曲線，試求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．
（2）當(dāng)a＞0，y≥1時(shí)，軌跡上的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，b）距離的最小值是否存在？若存在，求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立直線l₁和l₂的方程，消去參數(shù)即可得到交點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)a的取值a＞0，-1＜a＜0，a=-1，a＜-1說(shuō)明軌跡曲線，利用二次曲線判斷形狀，直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．
（2）通過(guò)a＞0，y≥1時(shí)，說(shuō)明軌跡的圖形，求出軌跡上的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，b）距離的表達(dá)式，通過(guò)配方討論b與的大小，求出|PA|的最小值．
解答：解：（1）由
消去k，得y²-ax²=1
①當(dāng)a＞0時(shí)，軌跡是雙曲線，焦點(diǎn)為，離心率；
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，軌跡是橢圓，焦點(diǎn)為，離心率；
③當(dāng)a=-1時(shí)，軌跡是圓，圓心為（0，0），半徑為1；
④當(dāng)a＜-1時(shí)，軌跡是橢圓，焦點(diǎn)為，離心率
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，y≥1時(shí)，軌跡是雙曲線y²-ax²=1的上半支．
∵|PA|²=x²+（y-b）²=
=
①當(dāng)b＞時(shí)，|PA|的最小值為；
②當(dāng) b≤時(shí)，|PA|的最小值為|1-b|
點(diǎn)評(píng)：本題考查知識(shí)點(diǎn)比較多，涉及參數(shù)方程，雙曲線方程橢圓方程，圓的方程，兩點(diǎn)的距離公式等等，涉及分類討論思想二次函數(shù)的最值，是難度比較大，容易出錯(cuò)的題目，考試�？款}型，多以壓軸題為主．