Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點，E是線段D₁O上一點，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求異面直線DE與CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

分析：本題背景是一個正方體，故可以建立空間坐標系解題，以以

DA

，  

DC

，  

DD1

為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，寫出各點的坐標，
（1）求出異面直線DE與CD₁的方向向量用數(shù)量積公式兩線夾角的余弦值（或補角的余弦值）
（2）求出兩個平面的法向量，由于兩個平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0，由此方程求參數(shù)λ的值即可．

解答：解（1）不妨設正方體的棱長為1，以

DA

，  

DC

，  

DD1

為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
則A（1，0，0），O(

1

2

，  

1

2

，  0)，C（0，1，0），D₁（0，0，1），
E(

1

4

，  

1

4

，  

1

2

)，
于是

DE

=(

1

4

，  

1

4

，  

1

2

)，

CD1

=(0，  -1，  1)．
由cos?

DE

，  

CD1

＞=

DE • CD1

| DE| •| CD1 |

=

3

6

．
所以異面直線AE與CD₁所成角的余弦值為

3

6

．（5分）
（2）設平面CD₁O的向量為m=（x₁，y₁，z₁），由m•

CO

=0，m•

CD1

=0
得

1 2 x1- 1 2 y1=0 -y1+z1=0

取x₁=1，得y₁=z₁=1，即m=（1，1，1）．（7分）
由D₁E=λEO，則E(

λ

2(1+λ)

，  

λ

2(1+λ)

，  

1

1+λ

)，

DE

=(

λ

2(1+λ)

，  

λ

2(1+λ)

，  

1

1+λ

)．
又設平面CDE的法向量為n=（x₂，y₂，z₂），由n•

CD

=0，n•

DE

=0．
得

y2=0 λx2 2(1+λ) + λy2 2(1+λ) + z2 1+λ =0

取x₂=2，得z₂=-λ，即n=（-2，0，λ）．
因為平面CDE⊥平面CD₁F，所以m•n=0，得λ=2．（10分）

點評：本題查了異面直線所成的角以及兩個平面垂直的問題，本題采用向量法來研究線線，面面的問題，這是空間向量的一個重要運用，大大降低了求解立體幾何問題的難度．