Question

函數(shù)f（x）=x³+ax+b（a，b∈R）的圖象記為E，過(guò)點(diǎn)A（

1

2

，-

3

8

）作曲線(xiàn)E的切線(xiàn)有且僅有兩條，求a+2b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率相等列出方程，由條件知方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，即只要函數(shù)的兩個(gè)極值中有一個(gè)為0，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)切點(diǎn)P為（m，n），則n=m³+am+b，①
f′（x）=3x²+a，切線(xiàn)的斜率為3m²+a，
又P，A的斜率為

n+ 3 8

m- 1 2

=3m²+a，②
由①②得到，2m³-

3

2

m²-

1

2

a-b-

3

8

=0．③
由于過(guò)點(diǎn)A作曲線(xiàn)E的切線(xiàn)有且僅有兩條，
故③有且只有兩個(gè)實(shí)根，
令f（m）=2m³-

3

2

m²-

1

2

a-b-

3

8

，則f（m）的一個(gè)極值為0，
f′（m）=6m²-3m，
令f′（m）=0即m=0或m=

1

2

，
故f（0）=0或f（

1

2

）=0，
即a+2b=-

3

4

或a+2b=-1．
故a+2b的值為-1或-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的一個(gè)應(yīng)用：求切線(xiàn)方程，同時(shí)考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，注意點(diǎn)A不一定是切點(diǎn)，同時(shí)必有一個(gè)極值為0，該題屬于中檔題．