Question

如圖，ABC-A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，點(diǎn)M，N分別為A1B和B1C1的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面A₁ACC₁；
（2）求二面角N-MC-A的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，取A₁B₁的中點(diǎn)P，連接MP，NP．利用三角形的中位線定理可得NP∥A₁C₁，MP∥B₁B；再利用線面平行的判定定理可得NP∥平面A₁ACC₁；MP∥平面A₁ACC₁；利用面面平行的判定定理可得平面MNP∥平面A₁ACC₁；進(jìn)而得到線面平行MN∥平面A₁ACC₁；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出．
解答：解：（1）如圖所示，取A₁B₁的中點(diǎn)P，連接MP，NP．
又∵點(diǎn)M，N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)，∴NP∥A₁C₁，MP∥B₁B，
∵NP?平面MNP，A₁C₁?平面MNP，∴NP∥平面A₁ACC₁；
同理MP∥平面A₁ACC₁；
又MP∩NP=P，
∴平面MNP∥平面A₁ACC₁；
∴MN∥平面A₁ACC₁；
（2）側(cè)棱與底面垂直可得A₁A⊥AB，A₁A⊥AC，及AB⊥AC，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，2），B₁（2，0，2），C₁（0，2，2），N（1，1，2），M（1，0，1）．
∴=（-1，2，-1），=（1，-1，2），=（0，2，0）．
設(shè)平面ACM的法向量為=（x₁，y₁，z₁），則，令x₁=1，則z₁=-1，y₁=0．
∴=（1，0，-1）．
設(shè)平面NCM的法向量為=（x₂，y₂，z₂），則，令x₂=3，則y₂=1，z₂=-1．
∴=（3，1，-1）．
∴===．
設(shè)二面角N-MC-A為θ，則==．
故二面角N-MC-A的正弦值為．
點(diǎn)評：本題綜合考查了線面平行、面面平行、二面角、三角形的中位線定理、平面的法向量等基礎(chǔ)知識，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．