Question

已知(

3

x

-

3	x

)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于(4

3	x

-

1

5x

)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求(

3

x

-

3	x

)n展開式中含x^-1的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求得 (4

3	x

-

1

5x

)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 T3=27，而(

3

x

-

3	x

)n的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為2⁷，結(jié)合條件求得n=7，由(

3

x

-

3	x

)7的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式知，含x^-1的項(xiàng)是第4項(xiàng)（r=3），從而求得該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．

解答： 解：由于 (4

3	x

-

1

5x

)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 5

(4

3	x

)5-r(-

1

5x

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•x

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)，
若它為常數(shù)項(xiàng)，則

10-5r

6

=0，求得r=2，代入上式求得常數(shù)項(xiàng)為 T3=27．
即常數(shù)項(xiàng)是2⁷，從而可得(

3

x

-

3	x

)n的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為2ⁿ=2⁷，∴n=7．
同理(

3

x

-

3	x

)7由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式知，含x^-1的項(xiàng)是第4項(xiàng)（r=3），
其二項(xiàng)式系數(shù)是

C

2 7

=35．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．