Question

是否存在互不相等的三個數，使它們同時滿足三個條件：
①a+b+c=6；
②a、b、c成等差數列；
③將a、b、c適當排列后，能構成一個等比數列．

Answer 1

分析：假設滿足題中三個條件的三個數存在，根據a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，再由a+b+c=6，求出b的值，設a，b，c成等差數列的公差為d，用d表示出a，b及c，得到三個數分別為2-d，2，2+d，根據三個數都可能為等比中項，分三種情況考慮：當2為等比中項時，利用等比數列的性質列出關于d的方程，求出方程的解得到d的值，確定出a，b，c三個數，經檢驗不合題意；當2-d為等比中項，同理求出d的值，確定出a，b及c；當d+2是等比中項，同理求出d的值，確定出a，b，c，綜上，得到滿足題意的a，b及c的值．

解答：解：假設存在這樣的三個數，
∵a、b、c成等差數列，
∴2b=a+c，又a+b+c=6，
∴b=2，
設a=2-d，b=2，c=2+d，
①若2為等比中項，則2²=（2+d）（2-d），
∴d=0，則a=b=c，不符合題意；
②若2+d為等比中項，則（2+d）²=2（2-d），
解得d=0（舍去）或d=-6，
∴a=8，b=2，c=-4；
③若2-d為等比中項，則（2-d）²=2（2+d），
解得d=0（舍去）或d=6，
∴a=-4，b=2，c=8，
綜上所述，存在這樣的三個不相等數，同時滿足3個條件，它們是8，2，-4或-4，2，8．

點評：此題考查了等差、等比數列的性質，熟練掌握等差、等比數列的性質是解本題的關鍵．