Question

如圖，過(guò)拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|=

2

|BF|，且|AF|=4+2

2

，則直線AB與拋物線x²=2py（p＞0）所圍成的封閉圖形的面積為（　�。�

• A、4

  2

• B、2

  2

• C、2

  3

• D、4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先確定積分的定義域，在確定積分函數(shù)，最后通過(guò)求定積分來(lái)求的相應(yīng)的面積．

解答： 解：分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，
設(shè)|BF|=a，則由已知得：|BC|=

2

a，由定義得：|BD|=a，故∠BCD=45°，
在直角三角形ACE中，∵|AE|=4+2

2

，
∴|AC|=4

2

+4
∵|AF|=4+2

2

，
∴|CF|=2

2

，
∴|GF|=2
∴p=2，
∴x²=4y，
∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2），
∴直線l的方程為y=x+2，
由

x2=4y y=x+2

，
解得x=2±2

3

，
∴直線AB與拋物線x²=4y（p＞0）所圍成的封閉圖形的面積為S=

∫	2+2 3 2-2 3

（ x+2-

1

4

x2）dx=（

1

2

x2+2x-

1

12

x3）|

2+2 3 2-2 3

=4

3

故選：D

點(diǎn)評(píng)：定積分類的題先要弄清楚定積分的含義，運(yùn)算的時(shí)候要弄清楚定積分的定義域和積分函數(shù)．