Question

從四名男生和三名女生中任選3人參加演講比賽．
（Ⅰ）求所選3人中至少有一名女生的概率；
（Ⅱ）ξ表示所選參加演講比賽的人員中男生的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記事件A為“所選3人中至少有一名女生”，分析可得，其對立事件

.

A

為“所選的3人全是男生”，借助組合公式與對立事件的概率公式，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，易得 ξ 的可能取值為：0，1，2，3；分別求得其概率，進(jìn)而可得分步列，由期望的計(jì)算公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記事件A為“所選3人中至少有一名女生”，
則其對立事件

.

A

為“所選的3人全是男生”．
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 3 4

C 4 7

=1-

4

35

=

31

35

．（6分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為：0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 3 3

C 3 7

=

1

35

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 3

C 3 7

=

12

35

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 3

C 3 7

=

18

35

，P(ξ=3)=

4

35

．（8分）
∴ξ的分布列為：
Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查對立事件的概率與根據(jù)分布列計(jì)算變量的期望，計(jì)算概率是涉及組合、排列，注意其公式的正確運(yùn)用．