Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)上任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為2，P與橢圓長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為－.設(shè)直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于兩點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
(1)若＝ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求|y₁－y₂|的值；
(2)當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）4（2）存在Q(3,0)

(1)由橢圓的定義知a＝，設(shè)P(x，y)，
則有，則＝－，
又點(diǎn)P在橢圓上，則＝－，
∴b²＝2，
∴橢圓C的方程是＝1.(3分)
∵＝，
∴|cos∠AOB＝，
∴|sin∠AOB＝4，
∴S_△AOB＝|sin∠AOB＝2，
又S_△AOB＝|y₁－y₂|×1，故|y₁－y₂|＝4.(7分)
(2)假設(shè)存在一點(diǎn)Q(m,0)，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，
依題意可知直線l斜率存在且不為零，
直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，
由消去y得(3k²＋2)x²－6k²x＋3k²－6＝0，(9分)
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁·x₂＝.
∵直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角，
∴k_QA＋k_QB＝0，即＝0，(13分)
又y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，
代入上式可得2x₁x₂＋2m－(m＋1)(x₁＋x₂)＝0，
∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，
∴存在Q(3,0)使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角．(16分)