在數(shù)列{an}中，已知a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，則a2015=
 
．
考點：數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由已知條件利用遞推公式求出數(shù)列的前5項，由此猜想an=
3
n+5
．再用數(shù)學歸納法證明，由此能求出a2015．
解答： 解：∵a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，
∴a2=
3×
1
2
1
2
+3
=
3
7
，
a3=
3×
3
7
3
7
+3
=
3
8
，
a4=
3×
3
8
3
8
+3
=
1
3
，
a5=
3×
1
3
1
3
+3
=
3
10
，
由此猜想，an=
3
n+5
．
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，a1=
3
1+5
=
1
2
，成立．
②假設n=k時，成立，即ak=
3
k+5
，
當n=k+1時，ak+1=
3×
3
k+5
3
k+5
+3
=
9
3+3(k+5)
=
3
(k+1)+5
，也成立．
由①②，得an=
3
n+5
．
∴a2015=
3
2020
．
故答案為：
3
2020
．
點評：本題考查數(shù)列的第2015項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意遞推思想和數(shù)學歸納法的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tan（
π
4
+θ）+tan（
π
4
-θ）=4，且-π＜θ＜-
π
2
，求sin2θ-2sinθcosθ-cos2θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x∈R，a＞0，設ax+a-x=u，將下列各式分別用u表示
（1）a
x
2
+a-
x
2
；
（2）a
3x
2
+a-
3x
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

圓
x=1+cosα
y=sinα
(α為參數(shù))上的點到直線
x=t
y=1+t
(t為參數(shù))的最大距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2n+1，則an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）為偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=
cosπx，x∈[0，
1
2
]
2x-1，x∈(
1
2
，+∞)
，則不等式f（x）≤
1
2
的解集為（　　）
A、[
1
4
，
2
3
]∪[
4
3
，
7
4
]
B、[-
3
4
，-
1
3
]∪[
1
4
，
2
3
]
C、[
1
3
，
3
4
]∪[
4
3
，
7
4
]
D、[-
3
4
，-
1
3
]∪[
1
3
，
3
4
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

觀察下列等式：
12=1，12-22=-3．
12-22+32=6，12-22+32-42=10．
…，…，
照此規(guī)律，第6個等式為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
，
b
的夾角為60°，且|
a
|=2，|
b
|=1，則|
a
•
b
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x+1|-b|2x-4|，當a=1，b=
1
2
時，解不等式f（x）≤0．

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